Résoudre un problème

Lire l’énoncé

Il faut lire tout l’énoncé du début à la fin.

Ensuite, il faut le relire en « sortant » toutes les informations nécessaires (et seulement celles qui sont nécessaires).

La prise de notes de ces informations est très utile (surtout si l’énoncé est long et difficile à comprendre)

Résoudre en trouvant une méthode

Dans un problème, il faut analyser la question posée, et identifier les données chiffrées. C’est à partir de ces données qu’on peut réfléchir à la résolution du problème.

Quels renseignements nous donne-t-on dans le texte ?

Que faut-il trouver ?

Qu’est-ce qui relie les deux ? (relation mathématique)

                   

Exemple détaillé (niveau CM1 pour commencer)

Christophe Colomb a découvert l’Amérique en 1492 en pensant trouver une nouvelle route vers la Chine. Ce grand navigateur né en 1451 est mort le 20 mai 1506 en Espagne à l’âge de 55 ans.

À quel âge a-t-il découvert l’Amérique ?

(fiche de Jean-Luc Caron et Pierre Higelé, Résolution de problèmes CM1, Ed. Retz

                                           

À la deuxième lecture, on peut noter les 3 dates et son âge.

 

La question posée est son âge en 1492 (découverte de l’Amérique).

Pour cela, il nous faut :

- son année de naissance (1451)

- l’année de la découverte de l’Amérique (1492)

1492 - 1451 = 41

Christophe Colomb avait donc 41 ans en 1492

Contre-exemple

« Sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres, quel est l’âge du capitaine ? »

 

                           

 

Ce problème a été posé à des enfants en école primaire : 78% ont donné une réponse, sans remettre en question l’énoncé.

L’âge du capitaine, De l’erreur en mathématiques, Stella Baruk, Editions du Seuil, 1985.

Troisième exemple : les âges

Alain est quatre fois plus vieux que Deborah. Dans  16 ans,  il ne sera plus que deux fois plus vieux qu’elle. Quel est l’âge de Deborah aujourd’hui ?

Posons les données du problème :

Aujourd’hui :

Soit  l’âge de Deborah, que nous recherchons.

Alors l’âge d’Alain est aujourd’hui  (Alain est quatre fois plus vieux que Deborah).

Dans 16 ans :

L’âge de Deborah sera    .

L’âge d’Alain sera  .

Équation :

On sait de plus que dans 16 ans, Alain sera deux fois plus vieux que Deborah :  vaudra le double de    .

Soit      

Calcul :

Il n’y a plus qu’à isoler   :

 Conclusion :

L’âge de Deborah est aujourd’hui de 8 ans.

 

 

Quatrième exemple

Problème du premier degré :

Deux tours élevées l’une de 30 pas, l’autre de 40 pas sont distantes de 50 pas. Entre ces deux tours se trouve une fontaine vers le centre de laquelle deux pigeons, descendant de leurs sommets, se dirigent du même vol et parviennent en même temps

Déterminer les distances du centre F de la fontaine aux pieds des deux tours.

Commentaire: ça devient plus difficile car il faut faire deux mises en équation...

Quelles sont les données chiffrées ?

Hauteur 1ère tour : 30 pas

Hauteur 2ème tour : 40 pas

Distance entre les deux tours : 50 pas

Quelle est la question posée ?

Il faut calculer :                 -   la distance de la fontaine à la 1ère tour

-          la distance de la fontaine à la 2ème tour

Définition des unités :

Toutes les données étant exprimées en pas, les résultats  seront en pas.

   

 

 

Il nous faut donc calculer MF et FN en pas. Ces deux valeurs ont une somme de 50 pas.

Choix des inconnues :

On appellera la distance de la fontaine à la 1ére tour x : MF = x

1ère Mise en équation :

MF = x et NF = 50 – x

Comment calculer la valeur de x ?

Nous savons que les pigeons parcourent la même distance. Donc :

AF = BF

Aucun rapport avec x pour l’instant…

Les hauteurs des deux tours sont les autres données à utiliser (il n’y en a pas d’autre !). Il nous faut donc exploiter une relation connue pour trouver x.

Comme les deux triangles AFM et BFN sont rectangles (ce n’est pas la tour de Pise !), nous allons utiliser le théorème de Pythagore deux fois :

AF² = AM² + MF²                                                                                            BF² = FN² + BN²

AF² = 30² + x²                                                                                                BF² = (50 – x)² + 40²

2ème mise en équation :

Nous égalisons les deux expressions en fonction de x :

D’où :                                             30² + x² = (50 – x)² + 40²

Résolution de l’équation :

900 +  x²  = 2500 – 100x + x² + 1600

100 x       =   3200

            x  =  32

Conclusion et vérification :

La fontaine est à 32 pas de la 1ère tour et à 18 pas de la 2ème.

Ces résultats sont plausibles.

Avec le théorème de Pythagore :                                               30² + 32² =  1924 = AF²

                                                                                                   40² + 18² = 1924 = BF²

On constate bien que AF = BF.

 

 

 

 

Si vous avez toujours du mal...

Seul l'entraînement vous permettra d'y arriver...

Lecture réfléchie et brassage des données: c'est en général le plus difficile. Un professeur expérimenté vous aidera!

 

 

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